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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
3.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
c) $f(x)=x \ln x$
c) $f(x)=x \ln x$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $(0, +\infty)$
2) Derivamos $f(x)$
\( f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \)
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
\( \ln(x) + 1 = 0 \)
\( \ln(x) = -1 \)
Aplico $e$ en ambos miembros:
$e^{\ln(x)} = e^{-1}$
\( x = e^{-1} = \frac{1}{e} \)
Por lo tanto, en $x = \frac{1}{e}$ tenemos un punto crítico.
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( (0, \frac{1}{e}) \)
b) \( (\frac{1}{e}, +\infty) \)
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En \( (0, \frac{1}{e}) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (\frac{1}{e}, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
Entonces, recapitulando:
Intervalo de crecimiento: $(\frac{1}{e}, +\infty)$
Intervalo de decrecimiento: $(0, \frac{1}{e})$